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Géométrie : Équation cartésienne d'un cercle

Déterminer l'équation d'un cercle connaissant son centre et son rayon, ou identifier ces éléments à partir d'une équation donnée de la forme (x-a)² + (y-b)² = R².

Duree estimee : 20 min

1. De la distance à l'équation

Bonjour ! Pour comprendre l'équation d'un cercle, revenons à sa définition. Un cercle de centre $Ω$ et de rayon $R$ est l'ensemble de tous les points $M$ situés exactement à la même distance $R$ de ce centre.

Schéma géométrique 2D sur fond blanc. Un repère orthonormé avec axes X et Y noirs. Un cercle bleu centré sur un point marqué Ω (Omega) avec coordonnées (a,b). Un point M sur le cercle avec coordonnées (x,y). Un segment rouge relie Ω et M, étiqueté R. — Visualisons cela : le centre $Ω (a; b)$ est le point fixe, et le point $M (x; y)$ se déplace autour en gardant toujours la distance $R$ .

Tu sais calculer une distance. La distance entre le centre $Ω (a; b)$ et un point $M (x; y)$ se calcule avec une racine carrée. Comme cette distance doit être égale au rayon $R$ , on élève tout au carré pour simplifier la formule.

L'équation cartésienne d'un cercle de centre

Ω (a; b)

et de rayon

R

est :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Exemple : Si le centre est

C (2; 3)

et le rayon est

5

. On remplace

a

par

2

b

par

3

R

par

5

. L'équation devient :

(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25

Deux pièges à éviter : n'oublie pas de mettre le rayon au carré (écris

25

, pas

5

). Et attention aux signes : si le centre est

(- 1; 4)

, le terme en

x

devient

(x - (- 1))^{2}

, c'est-à-dire

(x + 1)^{2}

2. Trouver le centre et le rayon

Si on te donne l'équation, tu dois savoir retrouver le centre et le rayon. Avec la forme factorisée $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ , c'est facile : identifie les nombres $a$ et $b$ .

Soit l'équation

(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16

. On reconnaît la forme

(x - a)^{2}

. Ici,

x + 3

correspond à

x - (- 3)

, donc l'abscisse du centre est

- 3

. L'ordonnée est

1

. Le rayon est la racine de

16

, donc

R = 4

C'est plus technique si l'équation est développée, comme $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ . Il faut regrouper les termes en $x$ et en $y$ pour retrouver la forme factorisée grâce à la complétion du carré.

Astuce pour

x^{2} - 4 x

: c'est le début de l'identité remarquable

(x - 2)^{2}

. Mais attention,

(x - 2)^{2}

donne

x^{2} - 4 x + 4

. On écrit donc

(x - 2)^{2} - 4

pour compenser.

Dans

x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0

, on remplace les

x

par

(x - 2)^{2} - 4

et les

y

par

(y + 3)^{2} - 9

. L'équation devient

(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 3 = 0

. En passant les constantes à droite, on obtient

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

3. Cercle défini par un diamètre

Parfois, on définit un cercle par deux points $A$ et $B$ formant un diamètre. Le centre du cercle est alors le milieu du segment $[A B]$ .

Dessin géométrique simple sur fond blanc. Un segment de droite [AB] noir incliné. Un cercle bleu passant par A et B, ayant [AB] pour diamètre. Un point rouge Ω (Omega) marqué au milieu exact du segment [AB]. — Le centre $Ω$ se trouve exactement à mi-chemin entre $A$ et $B$ .

Méthode du milieu : Calcule les coordonnées du milieu de

[A B]

pour trouver le centre. Calcule ensuite la distance entre ce centre et

A

pour trouver le rayon.

Avec

A (1; 1)

B (3; 1)

: le milieu est

(\frac{1 + 3}{2}; \frac{1 + 1}{2})

soit

(2; 1)

. Le rayon est la distance entre

(2; 1)

(3; 1)

, qui vaut

1

. L'équation est

(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

Autre méthode (produit scalaire) : un point

M

appartient au cercle de diamètre

[A B]

si les vecteurs

M A

M B

sont orthogonaux. L'équation s'obtient en développant

M A \cdot M B = 0

. MB = 0.

4. Vérifier l'appartenance d'un point

Pour savoir si un point appartient à un cercle, remplace

x

y

par les coordonnées du point dans l'équation et vérifie l'égalité.

Cercle :

(x - 1)^{2} + y^{2} = 25

. Le point

P (4; 4)

est-il dessus ? Calculons :

(4 - 1)^{2} + 4^{2} = 3^{2} + 16 = 9 + 16 = 25

. L'égalité est vraie, donc

P

appartient au cercle.

Attention, l'égalité doit être exacte. Si tu trouves

24

26

au lieu de

25

, le point n'est pas sur le cercle (il est juste à l'intérieur ou à l'extérieur).

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