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La formule des probabilités totales

Calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition de l'univers. Sommer les probabilités des intersections provenant d'un arbre pondéré ou d'un énoncé textuel.

Duree estimee : 20 min

Intuition : Qu'est-ce qu'une partition ?

Imagine un lycée où chaque élève appartient obligatoirement à une classe, et une seule. Personne n'est sans classe, et personne n'est dans deux classes à la fois. En mathématiques, c'est ce qu'on appelle une partition de l'univers.

Des événements forment une partition si leur réunion forme l'univers entier et s'ils sont disjoints deux à deux (ils n'ont aucun élément en commun).

Schéma simple style diagramme de Venn : un grand rectangle nommé Omega représentant l'univers. Ce rectangle est divisé en 3 zones colorées distinctes (bleu, rouge, vert) nommées A1, A2 et A3. Les zones sont collées les unes aux autres pour remplir le rectangle, mais ne se chevauchent pas. Fond blanc. — Visualisons cela : l'univers est un grand rectangle, découpé en trois zones distinctes ( $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ) qui le remplissent complètement, comme un puzzle.

Exemple concret : Une usine a deux machines,

M_{1}

M_{2}

. Chaque pièce fabriquée vient soit de

M_{1}

, soit de

M_{2}

. Les événements « Venir de

M_{1}

» et « Venir de

M_{2}

» forment une partition.

L'outil indispensable : l'arbre pondéré

Pour utiliser la formule, on dessine un arbre pondéré. Le 1er niveau représente la partition (Machine $A$ ou $B$ ). Le 2nd niveau représente l'événement final (Pièce défectueuse $D$ ou non).

Un arbre de probabilité simple sur fond blanc. Un point de départ se divise en deux branches vers A et B. Depuis A, deux nouvelles branches partent vers D et non-D. Depuis B, deux nouvelles branches partent vers D et non-D. Des valeurs fictives comme 0,6 et 0,4 sont écrites sur les branches. — Voici l'arbre type. Sur les branches du 1er niveau, on place les probabilités simples. Sur le 2nd niveau, ce sont les probabilités conditionnelles.

Règle du produit : La probabilité d'un chemin complet (l'intersection) s'obtient en multipliant les probabilités des branches de ce chemin.

Astuce mnémotechnique : dis-toi « ET » quand tu avances sur un chemin (multiplication) et « OU » quand tu changes de chemin (addition).

Appliquer la formule des probabilités totales

Tu cherches la probabilité globale d'un événement, disons $D$ (Pièce défectueuse). $D$ peut arriver par le chemin $A$ ou par le chemin $B$ . La formule consiste à additionner les probabilités de tous ces chemins gagnants.

P (D) = P (A \cap D) + P (B \cap D)

. On fait la somme des intersections calculées avec la règle du produit.

La Machine

A

produit 60% des pièces (0,6) avec 2% de défauts (0,02). La Machine

B

fait 40% des pièces (0,4) avec 5% de défauts (0,05). Quelle est la probabilité totale d'avoir une pièce défectueuse ?

Calculons chaque chemin :
Chemin $A$ : $0, 6 \times 0, 02 = 0, 012$ .
Chemin $B$ : $0, 4 \times 0, 05 = 0, 020$ .
Probabilité totale = $0, 012 + 0, 020 = 0, 032$ (soit $3, 2%$ ).

Pièges à éviter et résumé

Attention ! Ne confonds pas la probabilité conditionnelle (le 2ème étage, sachant

A

) avec l'intersection (le résultat du produit). Pour la formule totale, on additionne les intersections.

L'erreur classique est d'additionner directement les pourcentages du second niveau (

0, 02 + 0, 05

). C'est faux ! Tu dois d'abord pondérer par la probabilité du premier niveau (multiplier).

Schéma infographique minimaliste. Deux flèches verticales descendent avec un symbole de multiplication (x) entre les étapes. En bas, deux flèches horizontales se rejoignent vers un centre avec un gros symbole d'addition (+). — Retiens cette logique visuelle : on descend dans l'arbre en multipliant, et on rassemble les résultats en bas en additionnant.

En résumé : Identifie ta partition, fais ton arbre, calcule chaque chemin (produit), et additionne les résultats pour trouver la probabilité totale.

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