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Étudier le sens de variation d'une suite

Déterminer si une suite est croissante ou décroissante en étudiant le signe de la différence entre deux termes consécutifs. Comparer le quotient de termes consécutifs à 1 pour les suites à termes strictement positifs.

Duree estimee : 20 min

Introduction : Monter ou descendre ?

Bonjour ! Nous allons apprendre à déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante. Imagine une suite comme un escalier. Si chaque marche est plus haute que la précédente, tu montes : la suite est croissante. Si chaque marche est plus basse, tu descends : la suite est décroissante.

Schéma simple sur fond blanc. À gauche, un graphique avec des points qui montent progressivement. À droite, un graphique avec des points qui descendent. Style épuré et scolaire. — Visualisons cela : une suite croissante monte vers le haut à droite, une suite décroissante descend.

Mathématiquement, une suite est croissante si pour tout entier

n

, le terme suivant

u_{n + 1}

est supérieur ou égal au terme actuel

u_{n}

La méthode universelle : Le signe de la différence

C'est la méthode la plus fiable, qui marche tout le temps. Le principe est simple : pour savoir si tu as grandi, tu fais la différence entre ta taille d'aujourd'hui et celle d'hier.

On calcule la différence

u_{n + 1} - u_{n}

. Si le résultat est positif, la suite est croissante. Si le résultat est négatif, la suite est décroissante.

Exemple : Soit

u_{n} = n^{2}

. Calculons

u_{n + 1} - u_{n}

. Cela donne

(n + 1)^{2} - n^{2}

. En développant, on obtient

n^{2} + 2 n + 1 - n^{2}

, soit

2 n + 1

. Comme

n

est un entier positif, ce résultat est toujours positif. La suite est donc croissante.

Attention à ne pas juste tester

u_{0}

u_{1}

. Une suite peut augmenter au début puis diminuer ensuite. Il faut faire le calcul avec la lettre

n

pour prouver que c'est vrai tout le temps.

La méthode du quotient (termes positifs)

Parfois, calculer une différence est difficile, notamment avec des puissances. On utilise alors la division. Attention, cette méthode n'est valide que si tous les termes de la suite sont strictement positifs.

On calcule le rapport

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

. Si le résultat est supérieur à

1

, la suite est croissante. Si le résultat est inférieur à

1

, la suite est décroissante.

Exemple :

u_{n} = 2^{n}

. C'est toujours positif. Le rapport

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}

vaut

2

. Comme

2

est plus grand que

1

, la suite est croissante.

Ne confonds pas la comparaison avec

0

et avec

1

! Pour la différence, on regarde si c'est positif (plus grand que

0

). Pour le quotient, on regarde si c'est plus grand que

1

Fonctions et suites classiques

Si ta suite est définie par une formule explicite $u_{n} = f (n)$ , tu peux étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ . Les variations de la suite seront les mêmes que celles de la fonction.

C'est très pratique si tu sais dériver la fonction associée ! Si la dérivée est positive sur l'intervalle, la fonction est croissante, donc la suite aussi.

Pour une suite arithmétique : elle est croissante si sa raison

r

est positive, et décroissante si sa raison

r

est négative.

Pour une suite géométrique à termes positifs : elle est croissante si la raison

q

est plus grande que

1

. Elle est décroissante si la raison

q

est comprise entre

0

1

Tableau blanc divisé en trois colonnes. 1: 'Différence > 0'. 2: 'Quotient > 1'. 3: 'Fonction f croissante'. Icônes mathématiques simples et colorées. — Résumé visuel des méthodes.

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