Dérivation : Signe de la dérivée et variations

Imagine la courbe de ta fonction comme le profil d'une montagne. Si tu places une règle tangente à la courbe, l'inclinaison de cette règle indique si tu es en train de monter ou de descendre.

En maths, le nombre qui mesure cette pente, c'est le nombre dérivé $f^{\prime }(x)$. Il y a donc un lien direct entre le signe de ce nombre (positif ou négatif) et le sens de variation de la fonction.

Voici le théorème fondamental de la classe de Première. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle. Si $f^{\prime }(x)$ est positif sur cet intervalle, alors la fonction $f$ est croissante.

Inversement, si $f^{\prime }(x)$ est négatif sur l'intervalle, alors la fonction $f$ est décroissante. Enfin, si la dérivée est nulle partout sur l'intervalle, la fonction est constante.

Pour étudier les variations d'une fonction, on utilise toujours la même méthode en trois étapes. Prenons l'exemple de la fonction $f(x)=x^2-4x+3$.

Étape 3 : Conclure avec le tableau de variations. Comme $f^{\prime }$ est négative puis positive, la fonction $f$ est d'abord décroissante, puis croissante.

Un extremum local est un sommet (maximum) ou un creux (minimum) sur la courbe. C'est le moment où la fonction arrête de monter pour descendre, ou l'inverse.

Cette propriété sert à l'optimisation. Par exemple, pour maximiser un bénéfice ou minimiser un coût, on cherche la valeur de $x$ pour laquelle la dérivée s'annule en changeant de signe.