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Maîtriser le calcul des dérivées

Application des règles de dérivation sur des sommes, produits, inverses et quotients. Détermination de l'expression algébrique de la dérivée f'(x) pour des fonctions usuelles.

Duree estimee : 30 min

Comprendre l'intuition de la dérivée

Imagine un compteur de vitesse en voiture. Il t'indique ta vitesse instantanée. En maths, la dérivée $f^{'} (a)$ mesure la vitesse à laquelle une fonction change à un instant précis $a$ .

Pour la calculer, on utilise le taux de variation entre deux points très proches ( $a$ et $a + h$ ). Quand l'écart $h$ devient minuscule et tend vers $0$ , ce taux devient le nombre dérivé.

Schéma simple sur fond blanc. Un repère orthonormé avec une courbe bleue. Un point rouge sur la courbe. Une droite verte (la tangente) passe par ce point. Une annotation montre que la pente de cette droite verte est le nombre dérivé f'(a). — Graphiquement, ce nombre dérivé correspond exactement à la pente de la tangente à la courbe au point étudié.

À retenir : Le nombre dérivé

f^{'} (a)

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse

a

La boîte à outils : les fonctions usuelles

Pour dériver, il faut connaître ses briques de base par cœur. Voici les règles indispensables pour la classe de Première.

Une constante (nombre seul) donne $0$ . La fonction $x$ donne $1$ . Pour les puissances $x^{n}$ , la dérivée est $n x^{n - 1}$ . Par exemple, $x^{2}$ devient $2 x$ et $x^{3}$ devient $3 x^{2}$ .

Tableau scolaire clair à deux colonnes. Gauche 'Fonction f(x)', Droite 'Dérivée f'(x)'. Lignes : k -> 0 ; x -> 1 ; x^n -> nx^(n-1) ; 1/x -> -1/x^2 ; racine(x) -> 1/(2racine(x)) ; e^x -> e^x. Fond blanc, texte noir. — Mémorise bien ce tableau récapitulatif avec l'inverse, la racine carrée et l'exponentielle.

Exemple : pour

f (x) = x^{4}

, on descend l'exposant

4

devant et on le diminue de

1

. Résultat :

f^{'} (x) = 4 x^{3}

Piège classique : la dérivée d'une constante (comme

f (x) = 12

) est toujours

0

, pas

12

. Un nombre fixe ne varie pas, sa vitesse est nulle.

Sommes et produits : les règles de calcul

Pour une somme ( $u + v$ ), on dérive chaque terme séparément. Si $f (x) = x^{2} + x$ , alors $f^{'} (x) = 2 x + 1$ .

Astuce pour le coefficient

k u

: Garde le nombre devant et dérive la fonction. Pour

3 x^{2}

, on garde

3

et on dérive

x^{2}

(qui fait

2 x

). Résultat :

3 \times 2 x = 6 x

Attention ! La dérivée d'un produit

uv

N'EST PAS

u^{'} v^{'}

. C'est l'erreur la plus fréquente en contrôle.

La formule du produit

(uv)^{'}

est :

u^{'} v + u v^{'}

. On dérive le premier, on garde le second, et on ajoute l'inverse.

Exemple :

f (x) = x^{2} e^{x}

. Ici

u = x^{2}

(

u^{'} = 2 x

) et

v = e^{x}

(

v^{'} = e^{x}

). La formule donne

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x}

. On factorise souvent par

e^{x}

ensuite.

Quotients et fonctions composées

Pour dériver une fraction $\frac{u}{v}$ , la formule est plus longue mais systématique. Identifie bien le numérateur $u$ et le dénominateur $v$ .

Formule du quotient :

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

. Note bien le signe MOINS au numérateur.

Image d'une formule mathématique colorée centrée. Grande fraction. Numérateur : (u' rouge * v bleu) MOINS (u rouge * v' bleu). Dénominateur : (v bleu) au carré. Fond épuré. — Visualise la structure pour ne pas te tromper dans l'ordre des termes.

Dernière règle importante en 1ere : les fonctions composées de type $g (a x + b)$ . La règle est de sortir le coefficient ' $a$ ' devant la dérivée.

f (x) = e^{3 x + 2}

, on sort le

3

. Comme la dérivée de

e^{x}

est

e^{x}

, cela donne

f^{'} (x) = 3 e^{3 x + 2}

Application : L'équation de la tangente

Une application majeure de la dérivation est de trouver l'équation de la droite tangente à la courbe.

L'équation de la tangente au point d'abscisse

a

est :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Méthode en 3 étapes : 1) Calcule l'image

f (a)

. 2) Calcule la fonction dérivée

f^{'} (x)

puis le nombre

f^{'} (a)

. 3) Remplace dans la formule et développe.

Pour

f (x) = x^{2}

a = 1

. On a

f (1) = 1

. La dérivée est

2 x

, donc

f^{'} (1) = 2

. L'équation est

y = 2 (x - 1) + 1

. En développant :

y = 2 x - 2 + 1

, soit

y = 2 x - 1

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