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Cours gratuit

Maîtriser le calcul analytique du produit scalaire

Calcul du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs coordonnées dans un repère orthonormé. Utilisation du résultat pour vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs.

Duree estimee : 20 min

La formule avec les coordonnées

Tu connais déjà la formule avec le cosinus pour calculer un produit scalaire. En classe de Première, l'outil le plus puissant est l'utilisation des coordonnées dans un repère orthonormé. Cette méthode transforme des problèmes géométriques en simples additions et multiplications.

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs et est égal à : .
Soit un vecteur et un vecteur . On multiplie les abscisses entre elles () et les ordonnées entre elles (). On additionne le tout : . Le produit scalaire vaut donc .

Illustration en cours de conception

L'image ci-dessous illustre deux vecteurs dans un repère pour t'aider à identifier leurs coordonnées.

Attention aux signes négatifs ! C'est l'erreur classique. Si une coordonnée est négative, entoure-la de parenthèses dans ton calcul pour ne pas confondre multiplication et soustraction.

Orthogonalité et équation de droite

L'application principale de cette formule est de prouver que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) sans avoir besoin de mesurer un angle.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à .
Testons les vecteurs et . Le calcul donne : . Cela fait . Le résultat est nul, donc les vecteurs sont bien orthogonaux.
Cela permet de trouver l'équation d'une droite. Si une droite a pour vecteur normal , son équation est de la forme . Il suffit ensuite d'utiliser un point de la droite pour trouver la valeur de .
Schéma géométrique épuré sur fond blanc. Une droite noire oblique. Un vecteur rouge (flèche) nommé n part d'un point de la droite et forme un angle droit parfait avec elle.
Ce schéma montre comment un vecteur normal, perpendiculaire à la droite, en définit la direction.

Distances et équation de cercle

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne sa longueur au carré (sa norme au carré). C'est ainsi qu'on retrouve la formule de distance entre deux points et : .

L'équation d'un cercle de centre et de rayon est donnée par la relation : .
Pour le cercle de centre et de rayon , on applique la formule. Cela donne . Note bien que est le carré du rayon ().
Dessin simple sur fond blanc. Un cercle noir. Au centre, un point rouge A. Sur le contour, un point bleu M. Le segment AM est tracé et annoté R.
Visualisons le lien entre le centre, le rayon et un point quelconque du cercle pour comprendre l'équation.
Ne confonds pas le rayon avec . Si l'équation se termine par , le rayon est , pas .

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