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Fractions : Décomposition et encadrement

Écrire une fraction sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1. Encadrer une fraction simple entre deux entiers consécutifs.

Duree estimee : 20 min

Comprendre les fractions plus grandes que 1

Bonjour ! Aujourd'hui, nous allons voir que les fractions peuvent être plus grandes que 1. Imagine que tu as très faim et que tu veux manger 5 quarts de pizza. Une seule pizza ne suffit pas car elle n'a que 4 quarts.

Dessin simple style cartoon : Deux pizzas rondes identiques posées côte à côte. Chaque pizza est coupée en 4 parts égales. La première pizza est entière (4 parts présentes). La deuxième pizza a une seule part présente et 3 parts manquantes. Les parts sont colorées en jaune appétissant. — Regarde cette image : pour avoir 5 parts, il nous faut une pizza entière plus une part d'une deuxième pizza.

En mathématiques, on écrit cela $\frac{5}{4}$ . La pizza entière représente 4 quarts, donc $\frac{4}{4}$ . On sait que $\frac{4}{4}$ est égal à 1. On peut donc dire que $\frac{5}{4}$ est égal à 1 (la pizza entière) plus $\frac{1}{4}$ (la part toute seule).

Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1. On peut alors la décomposer.

Décomposer une fraction

Décomposer une fraction, c'est l'écrire sous la forme d'un nombre entier plus une fraction plus petite que 1. Pour cela, on utilise les tables de multiplication pour trouver le nombre d'unités complètes.

Prenons la fraction

\frac{14}{3}

. On cherche combien de fois 3 rentre dans 14. Je récite la table de 3. 3 fois 4 font 12. C'est le plus proche sans dépasser 14. Il y a donc 4 unités complètes.

Comme on a utilisé 12 parts ( $3 \times 4$ ), il en reste 2 pour aller jusqu'à 14. Le résultat de la décomposition s'écrit : $\frac{14}{3} = 4 + \frac{2}{3}$ .

Schéma simple sur fond blanc. 5 bandes rectangulaires horizontales de même longueur alignées verticalement. Chaque bande est divisée en 3 cases (tiers). Les 4 premières bandes sont entièrement coloriées en bleu (4 entiers). La 5ème bande a seulement 2 cases coloriées en bleu et 1 case blanche. Texte '14/3 = 4 + 2/3' écrit à côté. — Voici comment on visualise $\frac{14}{3}$ avec des bandes colorées.

Attention, la fraction qui reste doit toujours être plus petite que 1. Si tu trouves

\frac{14}{3} = 3 + \frac{5}{3}

, c'est incomplet car

\frac{5}{3}

est encore plus grand que 1.

Encadrer une fraction entre deux entiers

Encadrer une fraction, c'est trouver les deux nombres entiers consécutifs (qui se suivent) qui l'entourent. C'est très facile si tu as déjà décomposé la fraction.

Reprenons

\frac{14}{3}

. Nous avons vu que c'est égal à

4 + \frac{2}{3}

. Cela veut dire que

\frac{14}{3}

est plus grand que 4, mais plus petit que 5.

L'astuce : le premier nombre de l'encadrement est l'entier trouvé dans la décomposition. Le deuxième nombre est l'entier juste après (plus 1).

Illustration en cours de conception

On voit bien la place de la fraction sur cette droite graduée.

En résumé, on encadre ainsi :

4 < \frac{14}{3} < 5

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