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Divisibilité et nombres premiers

Identifier les diviseurs d'un entier en utilisant les critères usuels (2, 3, 5, 9, 10) et reconnaître les nombres premiers inférieurs à 30. L'élève doit savoir si un nombre est multiple ou diviseur d'un autre.

Duree estimee : 20 min

1. Multiples et diviseurs

Imagine que tu as 25 chocolats à partager entre 4 amis. Chacun en reçoit 6 et il en reste 1. C'est une division euclidienne avec reste. Mais si tu as 24 chocolats ? Chacun en a 6 et il reste 0. On dit alors que 24 est divisible par 4.

Illustration en deux parties. À gauche : 25 billes partagées en 4 paquets de 6, avec 1 bille seule (reste). À droite : 24 billes partagées en 4 paquets de 6, sans reste. Style scolaire clair. — Voici la différence entre un partage avec reste et un partage exact.

Un nombre entier est divisible par un autre si le reste de la division euclidienne est égal à zéro.

On utilise trois expressions pour dire la même chose. Comme $56 = 8 \times 7 + 0$ , on peut dire : 56 est un multiple de 8, 56 est divisible par 8, ou 8 est un diviseur de 56.

Ne confonds pas ! Ici, on travaille avec des entiers (pas de virgules). Si tu tapes

25 \div 4

sur ta calculatrice et que tu vois 6,25, cela prouve que la division n'est pas exacte : 4 n'est pas un diviseur de 25.

2. Les critères de divisibilité

Comment savoir si 1350 est divisible par 2, 5 ou 9 sans poser l'opération ? Il existe des règles simples appelées critères de divisibilité.

Pour 2, 5 et 10, regarde uniquement le chiffre des unités (le dernier chiffre).

- Divisible par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (il est pair).
- Divisible par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
- Divisible par 10 : le nombre se termine par 0.

Le nombre 1350 écrit en gros. Une loupe grossissante se pose sur le dernier chiffre '0'. Des étiquettes indiquent 'Pair', 'Divisible par 5' et 'Divisible par 10'. — Exemple visuel : repère le dernier chiffre pour décider.

Pour 3 et 9, la règle est différente : il faut calculer la somme de tous les chiffres du nombre.

Pour 414 : on fait

4 + 1 + 4 = 9

. Comme 9 est dans la table de 9, 414 est divisible par 9. Comme 9 est aussi dans la table de 3, 414 est divisible par 3.

Attention au piège ! Un nombre qui se termine par 3 (comme 13) n'est pas forcément divisible par 3. C'est la somme des chiffres qui compte.

3. Les nombres premiers

Certains nombres ne se laissent diviser par personne, sauf par 1 et par eux-mêmes. On les appelle les nombres premiers.

Un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 30 à connaître : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Attention : 1 n'est PAS un nombre premier. Il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), et il en faut deux pour être premier.

2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs (4, 6, 8...) sont divisibles par 2, ils ne sont donc pas premiers.

4. Simplifier des fractions

On utilise les nombres premiers pour décomposer les nombres et simplifier les fractions au maximum.

Décomposons 12 : on peut l'écrire

4 \times 3

. Mais 4 n'est pas premier (c'est

2 \times 2

). Donc la décomposition en facteurs premiers de 12 est

2 \times 2 \times 3

Schéma étape par étape. 1) Fraction 12/18. 2) Décomposition : (2 x 2 x 3) sur (2 x 3 x 3). 3) On barre un '2' en haut et en bas, et un '3' en haut et en bas. 4) Résultat : il reste 2/3. — Regarde comment on utilise cette décomposition pour simplifier la fraction $\frac{12}{18}$ .

Bilan : Maîtrise les critères pour trouver les diviseurs, et apprends ta liste de nombres premiers pour simplifier tes fractions !

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