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Mouvement dans un champ électrique uniforme

Appliquer la deuxième loi de Newton à une particule chargée soumise à un champ électrique constant. Établir les équations horaires (accélération, vitesse, position) de manière algébrique.

Duree estimee : 20 min

1. Analogie et Force électrique

Imagine une balle lancée à l'horizontale : elle avance tout en tombant vers le sol à cause de la gravité. Pour une particule chargée entrant dans un champ électrique, c'est la même logique !

Sauf qu'ici, on remplace la gravité $g$ par un champ électrique $E$ . Si ce champ est uniforme (constant), la particule subit une force électrique constante tout au long de son trajet.

La force électrique est

F = q E

. D'après la 2e loi de Newton, l'accélération est donc

a = \frac{q}{m} E

Schéma 2D vue de coupe d'un condensateur plan. Deux plaques horizontales parallèles : une plaque positive en haut (rouge), une plaque négative en bas (bleue). Des flèches verticales régulières descendent de la plaque positive vers la négative pour représenter le champ électrique E. Fond blanc, style scolaire épuré. — Le dispositif classique est le condensateur plan : un champ $E$ uniforme règne entre deux plaques chargées.

2. Établir les équations horaires

Pour trouver la position à tout instant, on projette la relation vectorielle sur les axes du repère $(O x, O y)$ . Comme l'accélération est constante, on intègre par rapport au temps (calcul de primitives) pour trouver la vitesse, puis la position.

N'oublie pas les constantes d'intégration ! Elles sont déterminées par les conditions initiales à

t = 0

(position initiale et vitesse initiale

v_{0}

Cas classique : un électron entre horizontalement (vitesse

v_{0}

sur

O x

) dans un champ vertical (sur

O y

). Il n'y a aucune force horizontale, donc l'accélération

a_{x}

est nulle. Par contre, l'accélération verticale

a_{y}

est constante.

Résultat : la vitesse horizontale $v_{x}$ reste constante (mouvement uniforme sur $x$ ). La vitesse verticale $v_{y}$ varie proportionnellement au temps (mouvement uniformément accéléré sur $y$ ).

Attention au signe de la charge

q

! Pour un électron,

q = - e

(négatif). Le vecteur force

F

est donc de sens opposé au vecteur champ électrique

E

3. L'équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire est la relation mathématique entre l'ordonnée $y$ et l'abscisse $x$ (le chemin géométrique), indépendamment du temps $t$ .

La méthode : isole $t$ dans l'équation horaire de $x$ ( $t = \frac{x}{v _{0}}$ ), puis remplace $t$ par cette expression dans l'équation horaire de $y$ .

Si la vitesse initiale est perpendiculaire au champ, tu obtiens une équation de la forme

y = K x^{2}

: c'est une parabole.

Schéma sur fond blanc. Un repère (axe X horizontal, axe Y vertical). Une trajectoire courbe (parabole) part de l'origine et monte vers la droite, attirée vers une plaque positive située en haut. Indiquer v0 horizontal au départ. — L'électron est dévié vers la plaque positive (puisque sa charge est négative).

Cas particulier : si la vitesse initiale

v_{0}

est parallèle au champ

E

, la trajectoire est une ligne droite (mouvement rectiligne). La particule ne fait qu'accélérer ou ralentir sans tourner.

4. Approche énergétique

Si l'énoncé demande la vitesse finale sans parler de temps ou de trajectoire, utilise l'énergie plutôt que les lois de Newton. C'est plus rapide !

Théorème de l'énergie cinétique : La variation d'énergie cinétique est égale au travail de la force électrique

W = q \times U_{A B}

Dans un accélérateur linéaire, une particule initialement au repos est accélérée par une tension

U

. Sa vitesse finale dépendra de la racine carrée de cette tension.

En résumé : Newton pour la position et le temps, l'Énergie pour la vitesse et la tension.

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