Modélisation du circuit RC et constante de temps

Imagine un condensateur comme un réservoir élastique. Quand on envoie du courant, les charges s'accumulent sur les armatures, ce qui fait monter la tension (la pression) progressivement. Ce n'est pas instantané : le condensateur s'oppose aux variations brutales de tension.

En dérivant la première formule par rapport au temps, on trouve le lien direct entre courant et tension pour le condensateur. C'est la relation clé du chapitre : $i=C\times \frac{d{u}_C}{dt}$.

D'après la loi des mailles, la tension du générateur se répartit : $E=u_R+u_C$. Or, selon la loi d'Ohm, la tension aux bornes de la résistance est $u_R=R\times i$.

Remplaçons $i$ par $C\frac{d{u}_C}{dt}$ dans l'équation. On obtient : $E=R\times C\frac{d{u}_C}{dt}+u_C$. On réarrange pour faire apparaître la constante de temps $RC$.

On cherche une solution de la forme $u_C(t)=A+B\times e^{-t/\tau }$. Ton objectif est de déterminer les constantes $A$ et $B$ en utilisant l'état initial et l'état final du circuit.

Dans l'équation et la solution, le produit $R\times C$ apparaît partout. On le note tau ($\tau$). C'est la constante de temps du circuit, exprimée en secondes. Elle caractérise la rapidité de la charge.

Pour trouver $\tau$ graphiquement : repère l'instant où la tension atteint $63\%$ de sa valeur maximale $E$. Ce temps correspond exactement à $\tau$.

Alternative : trace la tangente à la courbe à l'origine ($t=0$). Cette droite coupe l'asymptote horizontale ($E$) à l'instant $t=\tau$.

Pour la décharge, on court-circuite le générateur ($E=0$). La loi des mailles devient $0=u_R+u_C$, ce qui donne l'équation différentielle : $RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=0$.