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Les Lois de Kepler et la dynamique des satellites

Appliquer la troisième loi de Kepler pour relier la période de révolution au rayon de l'orbite. Décrire les caractéristiques (vitesse, accélération) d'un mouvement circulaire uniforme dans un champ de gravitation.

Duree estimee : 20 min

1. Les deux premières lois de Kepler : orbites et vitesses

Au 17ème siècle, Johannes Kepler a révolutionné l'astronomie en brisant le dogme des orbites parfaitement circulaires. À partir d'observations précises, il a établi trois lois fondamentales qui décrivent le mouvement des planètes dans le référentiel héliocentrique.

La première loi (Loi des orbites) stipule que la trajectoire d'une planète est une ellipse. Contrairement au cercle qui a un centre, l'ellipse possède deux foyers. Le Soleil occupe l'un de ces foyers.

Schéma pédagogique sur fond blanc. Une ellipse (ovale) noire. Un axe horizontal traverse l'ellipse. Le Soleil (point jaune) est placé sur cet axe, mais décalé vers la gauche par rapport au centre. Une planète (point bleu) est sur le tracé de l'ellipse. — Voici une orbite elliptique. Note que le Soleil n'est pas au centre géométrique, mais décalé sur l'un des foyers.

La deuxième loi (Loi des aires) décrit la vitesse. Elle dit que le segment reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Cela implique que la vitesse de la planète n'est pas constante.

À retenir : la planète accélère quand elle se rapproche du Soleil et ralentit quand elle s'en éloigne.

2. Étude dynamique : le cas du mouvement circulaire

Pour les satellites artificiels autour de la Terre, on approxime souvent la trajectoire par un cercle de rayon $r$ . Cela simplifie les calculs et permet d'utiliser la deuxième loi de Newton dans le référentiel géocentrique.

Dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est dirigée vers le centre de la Terre (elle est normale et centripète). Sa valeur est $a = \frac{v ^{2}}{r}$ .

La seule force agissant sur le satellite est l'attraction gravitationnelle de la Terre. Sa valeur est $F = G \frac{M \cdot m}{r ^{2}}$ , où $M$ est la masse de la Terre et $m$ celle du satellite.

En appliquant la deuxième loi de Newton (

F = m \cdot a

), on égalise la force et le produit

m \cdot a

. Les masses '

m

' du satellite s'annulent. On trouve alors l'expression de la vitesse :

v = \frac{G \cdot M}{r}

.M / r).

Ne confonds pas ! La vitesse orbitale ne dépend PAS de la masse du satellite. Un petit boulon et la Station Spatiale Internationale tournent à la même vitesse s'ils sont sur la même orbite.

3. La troisième loi de Kepler : la période de révolution

La période de révolution $T$ est le temps nécessaire pour faire un tour complet. Comme le périmètre du cercle est $2 π r$ , on a la relation $T = \frac{2 π r}{v}$ .pi.r / v.

Si on remplace $v$ par son expression ( $\frac{GM}{r}$ ) et qu'on élève tout au carré, on démontre la troisième loi de Kepler pour le cas circulaire. On constate que le rapport $\frac{T ^{2}}{r ^{3}}$ est constant.

Troisième loi de Kepler :

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G \cdot M}

.pi² / (G.M).

Astuce : Cette formule permet de déterminer la masse

M

de l'astre attracteur (la Terre ou le Soleil) simplement en connaissant la période et la distance du satellite !

4. Le cas particulier du satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre. C'est très utile pour les télécommunications, car cela évite de devoir bouger les antennes paraboliques.

Pour être immobile par rapport au sol, le satellite doit respecter trois conditions : 1) Avoir une orbite circulaire dans le plan de l'équateur. 2) Tourner dans le même sens que la Terre.

3) Avoir une période de révolution exactement égale à la période de rotation propre de la Terre, soit un jour sidéral (environ 23h 56min 4s).

Schéma 3D simple sur fond noir spatial. La Terre au centre. Un cercle rouge représente l'orbite équatoriale, à bonne distance de la Terre. Un satellite est posé sur ce cercle. Une flèche montre qu'il tourne dans le même sens que la Terre. — Visualisation de l'orbite géostationnaire au-dessus de l'équateur.

En résumé : Orbite équatoriale, rotation vers l'Est, période égale au jour sidéral.

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