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Mécanique : Établir les équations horaires

Déterminer les expressions temporelles de la vitesse et de la position par intégration de la seconde loi de Newton. Identifier les constantes d'intégration à partir des conditions initiales décrites textuellement.

Duree estimee : 20 min

L'intuition : Remonter le temps mathématique

Imagine que tu filmes un lancer de ballon et que tu passes la vidéo au ralenti. À chaque instant, tu sais où est le ballon. Notre but est de prédire cette position à l'avance, uniquement avec les lois de la physique !

La méthode est une remontée : de l'accélération on trouve la vitesse, et de la vitesse on trouve la position.

Schéma simple vertical avec trois cases reliées par des flèches vers le bas. Case du haut : 'Accélération a(t)'. Flèche vers le bas marquée 'Primitive'. Case du milieu : 'Vitesse v(t)'. Flèche vers le bas marquée 'Primitive'. Case du bas : 'Position OM(t)'. Fond blanc, style épuré. — Visualisons la cascade : l'intégration est l'opération inverse de la dérivation.

Étape 1 : Le point de départ (Newton)

Tout commence par la 2ème loi de Newton dans un référentiel galiléen. Pour un objet en chute libre (soumis uniquement à son poids $P$ ), la somme des forces vaut $P$ .

On écrit

m \cdot a = m \cdot g

. En simplifiant par la masse

m

, on trouve que le vecteur accélération

a

est égal au vecteur champ de pesanteur

g

. L'accélération est donc constante.

Définis toujours ton repère

(O, i, j, k)

avant de projeter ! Si l'axe

O z

est vertical vers le haut, alors

a_{z} = - g

(car

g

est vers le bas). Si l'axe

O x

est horizontal,

a_{x} = 0

Étape 2 : De l'accélération à la vitesse

L'accélération est la dérivée de la vitesse. Pour trouver la vitesse $v (t)$ , on cherche donc la primitive de l'accélération $a (t)$ .

Sur l'axe vertical

O z

, on a une accélération constante

- g

. La primitive d'une constante est cette constante fois

t

. On obtient donc

- g \cdot t

.t.

Ne confonds pas ! Une primitive est définie à une constante près. Il faut toujours ajouter une constante d'intégration, notée

C_{1}

ici.

Pour trouver $C_{1}$ , on utilise les conditions initiales à $t = 0$ . Si on lance l'objet avec une vitesse verticale initiale $V_{0 z}$ , alors $C_{1} = V_{0 z}$ . L'équation devient : $v_{z} (t) = - g \cdot t + V_{0 z}$ .t + V0z.

Étape 3 : De la vitesse à la position

On recommence : la vitesse est la dérivée de la position. On cherche maintenant la primitive de l'équation de vitesse trouvée juste avant pour obtenir les équations horaires $x (t)$ et $z (t)$ .

Pour

z (t)

, on cherche la primitive de

- g \cdot t + V_{0 z}

. La primitive de

t

est

\frac{t ^{2}}{2}

. La primitive de la constante

V_{0 z}

est

V_{0 z}

fois

t

On obtient l'équation horaire :

z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0 z} t + Z_{0}

. (

Z_{0}

est la hauteur de départ).

Analyse du résultat : sur l'axe vertical, le terme en $t^{2}$ indique un mouvement rectiligne uniformément varié. Sur l'axe horizontal (où l'accélération est nulle), on aurait un mouvement rectiligne uniforme.

Dessin d'un graphique 2D. Axe horizontal X, axe vertical Z. Une courbe parabolique en cloche part de l'origine, monte puis redescend. Une équation z(t) pointe vers l'axe vertical, une équation x(t) pointe vers l'axe horizontal. — La combinaison de ces mouvements donne une trajectoire parabolique caractéristique de la chute libre.

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