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Optique : La relation de conjugaison

Appliquer la formule de conjugaison de Descartes pour lier les positions de l'objet, de l'image et la distance focale. Calculer la position d'une image réelle.

Duree estimee : 20 min

Pourquoi calculer la position de l'image ?

Imagine que tu utilises un vidéoprojecteur. Si tu places l'appareil n'importe où, l'image sur l'écran sera floue. Pour obtenir une image nette, la distance entre la lentille et l'écran doit être très précise.

Schéma 2D simplifié d'un banc optique vu de côté sur fond blanc. À gauche, un objet lumineux en forme de flèche rouge pointant vers le haut. Au centre, une lentille convergente représentée par une double flèche verticale bleue. À droite, un écran blanc vertical. Un axe optique horizontal traverse le tout. — Voici le schéma d'un banc optique. On y voit un objet lumineux (source), une lentille convergente au centre et un écran pour récupérer l'image.

Tu sais peut-être trouver cette position en dessinant des rayons lumineux. Mais le dessin a ses limites de précision. C'est là que le calcul mathématique devient indispensable.

La relation de conjugaison permet de calculer exactement où se formera l'image nette, sans avoir besoin de faire un schéma à l'échelle.

Attention au sens : les grandeurs algébriques

En optique, l'axe est orienté dans le sens de la lumière (de gauche à droite). Le centre optique $O$ de la lentille est l'origine (le zéro).

Attention au piège ! Les distances sont des valeurs algébriques (signées). Tout ce qui est à gauche de la lentille est compté négativement.

On note ces mesures avec une barre au-dessus des lettres (ex:

\overline{O A}

). Si l'objet est à

20 cm

devant la lentille, alors la distance

\overline{O A}

vaut

- 20 cm

. L'image, si elle est après la lentille, aura une distance

\overline{O A^{'}}

positive.

Dessin d'un axe horizontal fléché vers la droite. Au centre, un point O marqué zéro. À gauche de O, une zone colorée en rouge clair indiquée 'Valeurs négatives'. À droite de O, une zone colorée en vert clair indiquée 'Valeurs positives'. Une graduation simple est visible. — Retiens bien ce code couleur : avant la lentille (gauche) c'est négatif, après la lentille (droite) c'est positif.

La formule de conjugaison de Descartes

Cette relation lie trois grandeurs : la position de l'image ( $\overline{O A^{'}}$ ), la position de l'objet ( $\overline{O A}$ ) et la distance focale de la lentille ( $f^{'}$ ).

La formule à connaître par cœur est :

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}

Pour une lentille convergente (au programme de 1ere), la distance focale

f^{'}

est toujours positive (ex:

f^{'} = + 10 cm

Exemple pratique : une lentille a une distance focale $f^{'} = 20 cm$ . On place un objet à $60 cm$ devant elle (donc $\overline{O A} = - 60 cm$ ). Où se forme l'image ?

On cherche $\overline{O A^{'}}$ . On isole d'abord le terme $\frac{1}{O A ^{'}}$ . Cela donne : $\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{O A}$ .

On remplace par les valeurs :

\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{- 60}

. On met au même dénominateur (

60

). Cela fait

\frac{3}{60} - \frac{1}{60} = \frac{2}{60}

Ne t'arrête pas là ! Tu as trouvé l'inverse (

\frac{1}{O A ^{'}}

). Il faut inverser le résultat final. Si

\frac{1}{O A ^{'}} = \frac{2}{60}

, alors

\overline{O A^{'}} = \frac{60}{2} = 30 cm

Taille et sens de l'image : le grandissement

Tu sais où est l'image (à $+ 30 cm$ ). Mais est-elle grande ? Petite ? Renversée ? Pour le savoir, on calcule le grandissement, noté $γ$ .

Le grandissement

γ

est égal au rapport des positions (

\frac{O A ^{'}}{O A}

) mais aussi au rapport des tailles (

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

Reprenons l'exemple :

\overline{O A^{'}} = + 30 cm

\overline{O A} = - 60 cm

. Le calcul donne

γ = \frac{30}{- 60} = - 0, 5

Le signe

(-)

signifie que l'image est renversée. La valeur (

0, 5

) signifie que l'image mesure la moitié de la taille de l'objet.

Comme

\overline{O A^{'}}

est positif, on dit que l'image est "réelle" : on peut la projeter sur un écran. Si

\overline{O A^{'}}

était négatif, l'image serait "virtuelle".

Schéma optique sur fond blanc. À gauche, une grande flèche bleue verticale pointant vers le haut posée sur l'axe optique. Au centre une lentille. À droite, une flèche bleue verticale deux fois plus petite que la première, pointant vers le bas, sous l'axe optique. — Résultat final : l'objet est une flèche vers le haut (gauche), et l'image est une flèche deux fois plus petite vers le bas (droite).

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